Perron-Frobenius の定理
定義 實$ l\times l行列$ Pは、すべての成分$ p_{ij}が正數のとき、正 (成分の意味で正) といふ。
定理 1 (ペロン) 正行列$ Pは最大實固有値 (ペロン根またはペロン-フロベニウス根といふ)$ \lambda(P)をもち、次の性質をもつ。
(i)$ \lambda(P)は正で對應する固有 vector$ hのすべての成分は正である。 $ Ph=\lambda(P)h\quad(h>0).
(ii)$ \lambda(P)は單純根。
單純根 (simple root)
縮退してゐない固有値。固有方程式の單純根 (重根でない根) (iii)$ \kappaを$ Pの他の固有値とすると、その絕對値は$ \lambda(P)未滿である。 $ |\kappa|<\lambda(P).
定理 4 すべての$ l\times l非負行列$ F($ F\ne 0) は次のやうな性質をもつ固有値$ \lambda(F)をもつ。 (i)$ \lambda(F)は非負で、對應する固有 vectorで非負成分をもつものがある。 $ Fh=\lambda(F)h\quad(h\ge 0).
(ii)すべての他の固有値$ \kappaの絕對値は$ \lambda(F)以下である。 $ |\kappa|\le\lambda(F).
(iii)もし$ |\kappa|=\lambda(F)ならば$ \kappaは
$ \kappa=e^{2\pi ik/m}\lambda(F)
といふ形で表すことができる。ただし、$ kと$ mは正整數で$ m\le lである。
固有値の絕對値の最大値$ \rho(P):=\max\{|\lambda_i|\}